bolaInversión de una Circunferencia respecto a una Circunferencia

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Calcularemos la circunferencia inversa a la dada y, después, comprobaremos que lo es.
  1. Construcción:
    • Comencemos por fijar nuestra Circunferencia Cr sobre la que vamos a invertir, de centro O y la circunferencia de la que queremos calcular la inversa: Cs de centro C. (Paso 6). Asegurémonos que Cs no pasa por el centro de inversión.
    • Tracemos la recta que une ambos centros y sean M y N los dos puntos de corte de esta recta con Cs. (Paso 8)
    • Tracemos los inversos de M y N que llamamos M' y N'.(Paso 24)
    • Dibujemos la circunferencia de diámetro M'N' que es la que estamos buscando. (Paso 27)
  2. Comprobación: tomemos ahora un punto A cualquiera en Cs y comprobemos que su inverso está en la circunferencia resultado:
    • Empezamos por tomar el punto A en Cs(Paso 28)
    • Calculamos su inverso: A' (Paso 38)
    • El ángulo NAM mide 90º poque abarca media circunferencia (RB.4-1) (Paso 41)
    • Ejecutando hasta el paso 44 podemos comprobar la semejanza de los triángulos OA'N' y OAN.
      Semejanza1LaTeX
    • Ejecutando hasta el paso 45 podemos comprobar la semejanza de los triángulos OA'M' y OAM.
      Semejanza2LaTeX
    • Para abreviar llamemos α al ángulo que en el vértice O forman la semirecta que pasa por O y A y la recta que pasa por O y C. (Paso 46)
    • Si nos fijamos ahora en el triángulo formado por los vértices OAM y el formado por ON'A' y desglosamos sus ángulos:
      igualdad de angulosLaTeX
    • Teniendo en cuenta las igualdades de ángulos que hemos ido obteniendo hasta aquí concluimos que A' está en la circunferencia obtenida:
      ConclusiónLaTeX
  3. Mueve el punto A a través de la circunferencia y verás el recorrido de A'.