bolaEje Radical de dos circunferencias

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Veamos el proceso de construcción y, después comprobaremos que la recta construida es el lugar geométrico de los puntos cuya potencia a las dos circunferencias dadas es igual:
  1. Proceso de construcción:
    • Comenzamos con dos circunferencias de partida Cr de centro O1 y radio r y Cs de centro O2 y radio s(Paso 6).
    • Trazamos la recta que une ambos centros (Paso 7).
    • Dibujemos ahora una circunferencia auxiliar que sea secante con las dos de partida. Para ello vamos hasta el paso 10 y modificamos el centro y el radio de la circunferencia auxiliar para que cumpla la condición de secante con las circunferencias iniciales.
    • Tracemos la recta que determinan los dos puntos de corte de la circunferencia auxiliar con Cr: M y N (Paso 12)
    • Hagamos lo mismo con Cs: R y S (Paso 14)
    • Si E es el punto de corte de las dos rectas anteriores, E tiene la misma potencia respecto a Cr y Cs. Esto resulta evidente porque la potencia de E respecto a la circunferencia auxiliar coincide con la potencia de E respecto a cada una de las circunferencias iniciales.(Paso 15)
      Igual PotenciaLaTeX
    • Tracemos la perpendicular por E a la recta que une los centros de Cr y Cs y ésta será nuestra candidata a eje radical. (Paso 16)
  2. Comprobación de que todos los puntos de la recta obtenida tienen igual potencia respecto a ambas circunferencias:
    • Sea A la intersección de la recta obtenida como eje radical y la recta que une los centros de las circunferencias de partida (Paso 18). Vamos a comprobar que, la potencia de cualquier punto de esa recta es la misma respecto a las dos circunferencias si y sólo si la potencia de A respecto a ambas circunferencias es la misma:
    • Para calcular la Potencia de A respecto a Cs, marquemos los puntos de intersección de la recta O1O2 (en la que está A): As1 y As2 (Paso 19).
    • Para calcular la Potencia de A respecto a Cr, marquemos los puntos de intersección de la recta O1O2 (en la que está A): Ar1 y Ar2 (Paso 20).
    • Sea B un punto cualquiera en la recta obtenida como eje radical (Paso 21)
    • Tracemos las rectas que unen B con cada uno de los centros de las circunferencias iniciales y los puntos auxiliares correspondientes para calcular la potencia. (Paso 25)
    • Observemos las relaciones y operemos (ejecuta hasta el paso 26):
      ConclusiónLaTeX
  3. Comprobación de que cualquier punto fuera de la recta no tiene la misma potencia respecto a ambas:
    • Si tomamos cualquier punto C que no esté en la recta obtenida y trazamos las líneas que unen C con O1 y O2, al menos una de ambas rectas cortará a nuestra candidata a eje radical (ejecuta hasta el final).
    • Si llamamos a esos puntos D1 y D2 tenemos que la potencia de ambos respecto a las dos circunferencias es la misma, puesto que están en la recta que pretende ser el eje radical y, acabamos de probar que todos los puntos de esta recta tienen la misma potencia respecto a Cr y Cs
    • Sin embargo, la potencia de C respecto a Cr es diferente de la de D1 puesto que C y D1 están en la misma recta que pasa por O1 y no son coincidentes.
    • También, la potencia de C respecto a Cs es diferente de la de D2 puesto que C y D2 están en la misma recta que pasa por O2 y no son coincidentes.