bolaTrisección de un Ángulo Agudo

Volver al Tema Ayuda Calculadora
[ Tema ] [ Ayuda ] [Calcul.]


Vamos a ir comentando el proceso de construcción. Después vamos a analizar 2 casos en los que queda muy claro que la construcción es exacta. Verificar que en los demás casos la construcción es inexacta lo vamos a dejar para más adelante y así, utilizaremos "resultados trigonométricos" en su comprobación.
  1. Comencemos por trazar un ángulo agudo (Ejecuta hasta el punto 9 de construcción)
  2. Trazamos la bisectriz del ángulo y tomamos el punto E de intersección entre la bisectriz y el segmento que une los puntos C y D (Ejecuta hasta el punto 12)
  3. Con centro en E trazamos la circunferencia que pasa por C y D. Esta circunferencia corta a la bisectriz del ángulo en otros dos puntos F y G. (Ejecuta hasta el punto 14)
  4. Fíjate que el Triángulo FED es un triángulo isósceles y rectángulo, por tanto, los ángulos no rectos valen 45º. (Paso 18)
  5. Con centro en F trazamos la circunferencia que pasa por D. (Ejecuta hasta el paso 19)
  6. Ahora, con centro en D, trazamos la circunferencia que pasa por F. (Ejecuta el paso 20)
  7. Estas dos últimas circunferencias tienen un punto de corte en L. Pero si observas atentamente verás que DF , FL y LD son 3 segmentos que miden lo mismo. Por tanto, el triángulo DFL es un triángulo equilátero y, sus ángulos miden 60º (Ejecuta hasta el paso 24)
  8. Si trazamos la semirecta que une O con L, obtenemos un ángulo ε, que es, "aproximadamente", la tercera parte de α. (Ejecuta hasta el paso 27)
Hasta aquí el proceso de construcción clásico, con algunos comentarios añadidos. Ahora veamos dos valores de α para los que construcción es exacta:
  1. Si α = 45º.
    • En primer lugar, ejecuta hasta el final el Applet y modifica el valor del ángulo α para que valga 45º.
    • Observa que, el ángulo LOF = LO'F = 180º -15º = 165º.
    • Ahora fíjate que, si α = 45º, O = O' y el triángulo OFL es isósceles, por tanto, cada uno de sus otros dos ángulos mide 7'5º. En particular γ = 7'5º.
    • Por ello: ε = ( 45º / 2 ) - 7'5º = 15º. (La solución es exacta)
  2. Si α = 90º
    • Modifica el valor del ángulo α para que valga 90º.
    • Basta mirar al dibujo para ver que ε = 90º - 60º = 30º. (La solución es exacta)